6. MATEMATIKA

6.1 Algebra
6.2 Geometrija
6.3 Trigonometrija
6.4 Vektorinė algebra
6.5 Plokštumos analizinė geometrija
6.6 Ribos
6.7 Diferencialinis skaičiavimas
6.8 Neapibrėžtiniai integralai
6.9 Apibrėžtiniai integralai
6.10 Tikimybių teorija
6.11 Žymiausieji pasaulio matematikai

6.1. ALGEBRA

Svarbūs iracionalieji skaičiai

…; …; …;

„Aukso pjūvis“ – .

Kvadratinė lygtis

; ; ;
; ; ;

Vijeto teorema:
, ; .

Binomų formulės

; ;

; 0!=1; – Stirlingo formulė;

; ; .

Binominių koeficientų (Paskalio) trikampis:

Laipsniai ir šaknys

; ; ; ;

; ; .

Modulis: ,

Logaritmai

, (,,); ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Progresijos

Aritmetinė progresija: ;

; ; .

Geometrinė progresija: ;

; ; .

Kai , tai .

Į pradžią 6.2. GEOMETRIJA

V – kūno tūris, D – kūno šoninio paviršiaus plotas,
H – kūno aukštinė, S – plokščiosios figūros plotas,
h – daugiakampio aukštinė, C – apskritimo ilgis,
R (r) – apibrėžto (įbrėžto) apskritimo spindulys.

Plokščiosios figūros

Įvairiakraštis trikampis: 180º;

– pusperimetris; ;

;
;

.
Pusiaukraštinė: .

Sinusų teorema: .

Kosinusų teorema: .

Statusis trikampis:

– Pitagoro teorema; ;
; ; ; .

Lygiakraštis trikampis:

; ; ; .

Lygiagretainis:

; .

Rombas: , .

Trapecija:

– vidurinė linija; .

Skritulys:

; ;

; .

Tūrinės figūros

*Prizmė*	*Piramidė*	*Kūgis*	*Ritinys*	*Nupjautinis kūgis*


Čia S – pagrindo plotas; – stačiojo kūgio ir ritinio šoninio paviršiaus plotas ir tūris.

Rutulys Rutulio nuopjova Rutulio išpjova

Į pradžią 6.3. TRIGONOMETRIJA

, , , ; ,
, , .

, ,

, .

sin(–x) = – sin x – nelyginė funkcija;

cos(–x) = cos x – lyginė funkcija ;

tg(–x) = –tg x – nelyginė funkcija;

ctg(–x) = –ctg x – nelyginė funkcija.

Pagrindinės trigonometrijos formulės:

; ; ;

; ;

; .

; ; ;

; ;

; ; ;

; ; .

;

; .

sin x = a,	cos x = a,	tg x = a,
;	;	;
sin x = 0, ;	cos x = 0, ;	ctg x = a,
sin x = 1, ;	cos x = 1, ;	;
sin x = –1,;	cos x = –1, ;	.

, ,

, .

Į pradžią 6.4. VEKTORINĖ ALGEBRA

Jei , , tai vektorius ;

; – vektoriaus koordinatės (projekcijos), – vienetiniai vektoriai (ortai);

Vektoriaus ilgis (modulis): ; ;

ortas , ; , , ; – kampai, kuriuos sudaro su x, y, z ašimis.

; .

Skaliarinė sandauga: ;

Į pradžią 6.5. PLOKŠTUMOS ANALIZINĖ GEOMETRIJA

Atstumas tarp taškų:

;
jei dalija atkarpą [AB]
santykiu , tai , .

Tiesės lygtys

Bendroji: ; – statmenas tiesei (normalės) vektorius.

Kryptinė: ; . Ašinė: .

Tiesės, einančios per tašką , kai yra žinomas krypties koeficientas , lygtis: .

Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: .

Taško atstumas nuo tiesės : .

Kampas tarp tiesių: , .

Tiesių kolinearumo sąlyga: , .

Tiesių statmenumo sąlyga: , .

Ryšys tarp polinių ir Dekarto koordinačių:

, .

Antrosios eilės kreivės

Apskritimas:

; ;

– polinėje sistemoje.

Elipsė:

;

; ;

– ekscentricitetas .

Hiperbolė:

;

; ;

- parametrinės lygtys;– ekscentricitetas; – asimptotės.

Parabolė:

;

– direktrisė .

Į pradžią 6.6. RIBOS

Pirmoji svarbi riba: .

Antroji svarbi riba: arba ,

e= 2,7182818…

Į pradžią 6.7. DIFERENCIALINIS SKAIČIAVIMAS

Diferencijavimo taisyklės:

(C – konstanta); ;

Jei , o , tai , ;

Jei funkcijos atvirkštinė funkcija yra , tai .

; ;

; .

Diferencijavimo formulės:

, ; , ;

, .

; ;

; .

Į pradžią 6.8. NEAPIBRĖŽTINIAI INTEGRALAI

Pagrindinės formulės neapibrėžtiniams integralams apskaičiuoti

( u=f(x), C – konstanta):

1. , 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Dažnai pasitaikantys integralai:

11. 12.

13. ; 14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ; 20. .

Į pradžią 6.9. APIBRĖŽTINIAI INTEGRALAI

Niutono ir Leibnico formulė: .

Į pradžią 6.10. TIKIMYBIŲ TEORIJA

Veiksmai su aibėmis:

, – de Morgano formulės.

Kombinatorikos elementai:

k elementų imtis be grąžinimo iš n skirtingų elementų, įvertinant elementų tvarką; variantų skaičius: ;

k elementų imtis su grąžinimu iš n skirtingų elementų, įvertinant elementų tvarką: ;

n skirtingų elementų kėlinių (perstatų) skaičius: ;

derinių iš n elementų po k elementų skaičius:

Įvykių A ir B sumos tikimybė:

– nesutaikomiems įvykiams;

– bet kuriems įvykiams.

Įvykių A ir B sandaugos tikimybė:

– jei įvykiai priklausomi;

– jei įvykiai nepriklausomi.

Visos tikimybės formulė: .

Bejeso formulė: .

Bernulio formulė: , .

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai:

vidurkis ;

dispersija ,

;

standartas

Į pradžią 6.11. ŽYMIAUSIEJI PASAULIO MATEMATIKAI

Talis iš Mileto 620 m. pr. Kr.– 540 m. p.m.e.

Pitagoras 572 m. p.m.e.– 497 m. p.m.e.

Euklidas apie 300 m. p.m.e.

Archimedas 287 m. p.m.e.– 212 m. p.m.e.

Heronas Aleksandrietis apie 80 m. p.m.e.

Diofantas apie III a.

Abelis (Abel) Nilsas Henrikas 1802–1829

Adamaras (Hadamard) Žakas 1865–1963

Banachas (Banach) Stefanas 1892–1945

Bernulis (Bernoulli) Jakobas 1654–1705

Bernulis (Bernoulli) Johanas 1667–1748

Bernulis (Bernoulli) Danielius 1700–1782

Borelis (Borel) Emilis 1871–1956

Chinčinas Aleksandras 1894–1959

Čebyševas Pafnutijus 1821–1894

D'Alamberas (d'Alembert) Žanas 1717–1783

Dedekindas (Dedekind) Richardas Julijus Vilhelmas 1831–1916

Dekartas (Descartes) Renė 1596–1650

Dirichlė (Dirichlet) Peteris Gustavas Leženas 1805–1859

Ermitas (Hermite) Šarlis 1822–1901

Euleris (Euler) Leonardas (Oileris) 1707–1783

Ferma (de Fermat) Pjeras 1601–1665

Fišeris (Fisher) Ronaldas Eimleris 1890–1962

Fredholmas (Fredholm) Erikas Ivaras 1866–1927

Furjė (Fourier) Žozefas 1768–1830

Galua (Gallois) Evaristas 1811–1832

Gausas (Gauss) Karlas Fridrichas 1777–1855

Grynas (Green) Džordžas 1793–1841

Hamiltonas (Hamilton) Viljamas Rovanas 1805–1865

Hilbertas (Hilbert) Davidas 1862–1943

Jakobi (Jacobi) Karlas Gustavas Jakobas 1804–1851

Kantoras (Cantor) Georgas 1845–1918

Kardano (Cardano) Jeronimas 1501–1576

Kolmogorovas Andrejus 1903–1987

Koši (Cauchy) Ogiustenas Luji 1789–1857

Kovalevskaja Sofija 1850–1891

Lagranžas (Lagrange) Žozefas Luji 1736–1813

Laplasas (Laplace) Pjeras Simonas 1749–1827

Ležandras (Legendre) Adrienas Mari 1752–1833

Lebegas (Lebesgue) Anri 1857–1941

Leibnicas (Leibnitz) Gotfrydas Vilhelmas 1646–1716

Li (Lie) Sofus 1842–1899

Liapunovas Aleksandras 1857–1918

Linikas Jurijus 1915–1972

Lobačevskis Nikolajus 1792–1856

Markovas Andrejus 1856–1922

Minkovskis (Minkowski) Hermanas 1864–1909

Muavras (Moivre) Abrahamas 1667–1754

Niutonas (Newton) Izaokas 1643–1727

Noimanas (Neumann) Džonas fon 1903–1957

Ostrogradskis Michailas 1801–1861

Paskalis (Pscal) Blezas 1623–1662

Pirsonas (Pearson) Karlas 1857–1936

Puankare (Poincare) Anri 1854–1912

Puasonas (Poisson) Simeonas Deni 1781–1840

Rymanas (Riemann) Georgas Bernhardas 1826–1866

Steklovas Vladimiras 1864–1926

Šteineris (Steiner) Jakobas 1796–1863

Veilis (Weyl) Hermanas 1885–1955

Vejerštrasas (Weierstrass) Karlas 1815–1897

Vijetas (Viete) Fransua 1540–1603

Vyneris (Wiener) Norbertas 1894–1964

Vronskis (Wronski) Juzefas 1776–1853

Žordanas (Jordan) Kamilis 1838–1922

Į pradžią